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%第十三周习题

%9.4. 正交变换
%9.5. 子空间
%9.6. 实对称矩阵的标准形
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%摘要 Week N Teaching Goal 
\newcommand{\NABSA}{正交变换}
\newcommand{\NABSAa}{理解欧氏空间的正交变换的概念。}
\newcommand{\NABSAb}{证明正交变换将标准正交基变成标准正交基。}
\newcommand{\NABSAc}{证明正交变换关于标准正交基的矩阵是正交矩阵。}
\newcommand{\NABSAd}{编程实践：解析几何里的空间旋转的程序作图。}

\newcommand{\NABSB}{子空间}
\newcommand{\NABSBa}{计算欧氏空间中的向量在子空间中的内射影。}
\newcommand{\NABSBb}{计算欧氏空间的子空间的正交补空间。}

\newcommand{\NABSC}{实对称矩阵的标准形}
\newcommand{\NABSCa}{理解欧氏空间的对称变换的概念。}
\newcommand{\NABSCb}{证明对称变换关于标准正交基的矩阵是对称矩阵。}
\newcommand{\NABSCc}{证明实对称矩阵必定正交相似于对角矩阵。}
\newcommand{\NABSCd}{将给定的实对称矩阵正交相似于对角矩阵。}

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%\item % 1
\newcommand{\NTA}{
（定义9）欧氏空间的线性变换$\mathcal{A}:V\to V$ 如果保持内积不变，那么称为是正交变换，即对任意$\alpha,\beta\in V$, 有 $(\mathcal{A}(\alpha),\mathcal{A}(\beta)) = (\alpha,\beta)$. 验证平面旋转与反射是正交变换。
}

%\item % 1a.  
\newcommand{\NTAsol}{
{\color{red}解答：验证正交变换的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\NTB}{
（定理4）设 $\mathcal{A}:V\to V$是$n$维欧氏空间的线性变换。则下述条件等价：

(a) $\mathcal{A}$是正交变换。

(b) $\mathcal{A}$保持向量的长度不变。

(c) $\mathcal{A}$将标准正交基变成标准正交基。

(d) $\mathcal{A}$在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
}

%\item % 2a.  
\newcommand{\NTBsol}{
{\color{red}解答：正交变换的定义。向量的长度的定义。标准正交基的定义。线性变换在一组基下的矩阵的定义。

}
}

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%\item % 3
\newcommand{\NTC}{
（例1）写出二阶正交矩阵的一般形式。

（例2）写出三阶正交矩阵的一些例子。
}

%\item % 3a.  
\newcommand{\NTCsol}{
{\color{red}解答：
$$
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \quad 
\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}, \quad 
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & \pm 1 \end{pmatrix}.
$$
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\NTD}{
什么时候称两个子空间是正交的？什么时候称一个向量和一个子空间是正交的？
}

%\item % 4a.  
\newcommand{\NTDsol}{
{\color{red}解答：

（定义10）设$V_1,V_2$是欧氏空间$V$的两个子空间。如果对任意$\alpha\in V_1, \beta\in V_2$, 有 $(\alpha,\beta)=0$, 那么称这两个子空间是正交的。

\quad

设$\alpha\in V$, 如果对任意 $\beta\in V_2$, 有 $(\alpha,\beta)=0$, 
那么称向量$\alpha$与子空间$V_2$是正交的。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\NTE}{
（定理5）如果子空间$V_1,V_2,V_3$两两正交，那么和空间$V_1+V_2+V_3$是直和。
}

%\item % 5a.  
\newcommand{\NTEsol}{
{\color{red}解答：根据子空间正交的定义。验证直和的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\NTF}{
（定义11）设$V_1$是欧氏空间$V$的子空间，什么是$V_1$的正交补空间？
}

%\item % 6a.  
\newcommand{\NTFsol}{
{\color{red}解答：补空间。与给定的子空间正交。

%所有与这个子空间正交的向量全体组成一个线性子空间。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\NTG}{
（定理6）有限维欧氏空间的每个子空间都有唯一的正交补空间。
}

%\item % 7a.  
\newcommand{\NTGsol}{
{\color{red}解答：

取这个子空间的一个正交基。扩充成全空间的一个正交基。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\NTH}{
（引理1）实对称矩阵的复特征值都是实数。
}

%\item % 8a.  
\newcommand{\NTHsol}{
{\color{red}解答：设 $A\xi=\lambda\xi$. 则 $\overline{A\xi} = \overline{\lambda}\, \overline{\xi}$. 
考虑 $\overline{\xi^t}A\xi$. 
}
}

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%\item % 9
\newcommand{\NTI}{
（定义12）设$\mathcal{A}:V\to V$是欧氏空间上的一个线性变换。
如果对任意 $\alpha,\beta\in V$ 有 $(\mathcal{A}\alpha,\beta) = (\alpha,\mathcal{A}\beta)$, 那么称这是一个对称变换。
写出一个对称变换的例子。
}

%\item % 9a.  
\newcommand{\NTIsol}{
{\color{red}解答：从一个二阶对称矩阵出发。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\NTJ}{
（引理2）从$n$阶实对称矩阵可以定义$n$维欧氏空间上的对称变换。
}

%\item % 10a.  
\newcommand{\NTJsol}{
{\color{red}解答：取一组标准正交基。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11
\newcommand{\NTK}{
（引理3）设 $W\subset V$ 是对称变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 的不变子空间。
则其正交补空间 $W^\perp\subset V$ 也是$\mathcal{A}$-不变子空间。
}

%\item % 11a.  
\newcommand{\NTKsol}{
{\color{red}解答：验证不变子空间的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12
\newcommand{\NTL}{
（引理4）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是相互正交的。
}

%\item % 12a.  
\newcommand{\NTLsol}{
{\color{red}解答：特征值与特征向量的定义。两个向量正交的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\NTM}{
（定理7）设$A$是$n$阶实对称矩阵，则存在$n$阶正交矩阵$P$,使得$P^tAP$为对角矩阵。
}

%\item % 13a.  
\newcommand{\NTMsol}{
{\color{red}解答：取一个特征值和特征向量。构造一个低一维的欧氏空间与其上的正交变换。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14
\newcommand{\NTN}{
（例1）设矩阵$A$如下，求正交矩阵$P$, 使得$P^tAP$为对角矩阵，
$$
A= \begin{pmatrix}
0&1&1&-1 \\ 
1&0&-1&1 \\ 
1&-1&0&1 \\ 
-1&1&1&0 \\ 
\end{pmatrix}. 
$$

}

%\item % 14a.  
\newcommand{\NTNsol}{
{\color{red}解答：先求特征值。再求特征向量。将同一个特征值的特征向量正交化。构造标准正交基。构造正交矩阵。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15
\newcommand{\NTO}{
（定理8）任意实二次型 $\sum\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$
都可以通过正交的线性替换 $X=PY$ 变成平方和 
$\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2,$ 
其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是矩阵$A$的所有特征值。
}

%\item % 15a.  
\newcommand{\NTOsol}{
{\color{red}解答：将这个实二次型对应的实对称阵正交相似于对角矩阵。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16
\newcommand{\NTP}{
（例2）将一般的二次曲面通过旋转与平移，化为标准形式。
}

%\item % 16a.  
\newcommand{\NTPsol}{
{\color{red}解答：

一般的二次曲面方程可以写为 $X^tAX+2B^tX+d=0.$

先通过正交变换 $X=PY$ 化为 $Y^t\Lambda Y+2C^tY+e=0$, 
其中 $\Lambda$ 是对角矩阵。
再通过平移消去一次项。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 17
\newcommand{\NTQ}{
习题10. 设 \( V \) 是一个 $n$ 维欧氏空间，\( \alpha \neq 0 \) 是 \( V \) 中一固定向量。

(1) 证明：\( V_1 = \{ \xi \in V \mid (\xi, \alpha) = 0\} \) 是 \( V \) 的一个子空间；

(2) 证明：\( V_1 \) 的维数等于 \( n-1 \). 
}

%\item % 17a.  
\newcommand{\NTQsol}{
{\color{red}解答：验证子空间的定义。将 $\alpha$ 扩充为一个正交基。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 18
\newcommand{\NTR}{
习题13. 证明：上三角形的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为 1 或 $-1$. 
}

%\item % 18a.  
\newcommand{\NTRsol}{
{\color{red}解答：根据正交矩阵的定义。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19
\newcommand{\NTS}{
习题14. (1) 设 \(A\) 为一个 \(n\) 阶实矩阵，且 \(|A| \neq 0\)，证明 \(A\) 可分解成 \( A = QT\), 
其中 \(Q\) 是正交矩阵，\(T\) 是上三角形矩阵%即
%\[
%T =
%\begin{pmatrix}
%t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\
%0 & t_{22} & \cdots & t_{2n} \\
%\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
%0 & 0 & \cdots & t_{nn}
%\end{pmatrix},
%\]
且对角线元素都大于零， 
%\(t_{ii} > 0 \ (i=1,2,\cdots,n)\), 
并证明这个分解是唯一的；

(2) 设 \(A\) 是 \(n\) 阶正定矩阵，证明存在一个上三角形矩阵 \(T\), 使 \( A = T^t T. \)

}

%\item % 19a.  
\newcommand{\NTSsol}{
{\color{red}解答：由 $AT^{-1}=Q$ 可知，需要将 $A$ 的列向量作初等列变换，化为相互正交的列向量。用施密特正交化方法。

}
}

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%\item % 20
\newcommand{\NTT}{
习题15. 设 \(\eta\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中的一个单位向量，定义变换 \(\mathcal{A}: 
\mathcal{A} \alpha = \alpha - 2(\eta, \alpha) \eta. \) 
证明：

(1) \(\mathcal{A}\) 是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；

(2) \(\mathcal{A}\) 是第二类的；

(3) 如果 \(n\) 维欧氏空间中，正交变换 \(\mathcal{B}\) 以 1 作为一个特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 \(V_1\) 的维数为 \(n-1\)，那么 \(\mathcal{B}\) 是镜面反射。
}

%\item % 20a.  
\newcommand{\NTTsol}{
{\color{red}解答：正交变换的定义。将 $\eta$ 扩充为一组标准正交基。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\NTU}{
习题16. 证明：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。
}

%\item % 21a.  
\newcommand{\NTUsol}{
{\color{red}解答：设 $A\xi=\lambda\xi$. 则 $\overline{A\xi} = \overline{\lambda}\, \overline{\xi}$. 
考虑 $\overline{\xi^t}A\xi$. 

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 22
\newcommand{\NTV}{
习题17. 求正交矩阵 \(T\)，使 \(T^t AT\) 成对角形，其中 \(A\) 为
\[
\begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 \\
-2 & 1 & -2 \\
0 & -2 & 0 
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \\
2 & 5 & -4 \\
-2 & -4 & 5 
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
4 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0 
\end{pmatrix}.
\]
%\[
%\begin{pmatrix}
%-1 & -3 & 3 & -3 \\
%-3 & -1 & -3 & 3 \\
%3 & -3 & -1 & -3 \\
%-3 & 3 & -3 & -1 
%\end{pmatrix}, \quad
%\begin{pmatrix}
%1 & 1 & 1 & 1 \\
%1 & 1 & 1 & 1 \\
%1 & 1 & 1 & 1 \\
%1 & 1 & 1 & 1 
%\end{pmatrix}.
%\]

}

%\item % 22a.  
\newcommand{\NTVsol}{
{\color{red}解答：

求出特征值与特征向量。将同一个特征值的特征向量正交化。

}
}

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%\item % 23
\newcommand{\NTW}{
习题18. 用正交线性替换化下列二次型为标准形：

(1) $ x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3 $;

(2) $ x_1^2 - 2x_2^2 - 2x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 8x_2x_3 $;

(3) $ 2x_1x_2 + 2x_3x_4 $;

(4) $ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 - 2x_1x_2 + 6x_1x_3 - 4x_1x_4 - 4x_2x_3 + 6x_2x_4 - 2x_3x_4 $.
}

%\item % 23a.  
\newcommand{\NTWsol}{
{\color{red}解答：将相应的实对称矩阵正交相似于对角矩阵。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 24
\newcommand{\NTX}{
习题19. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实对称矩阵，证明：$ A $ 正定的充分必要条件是 $ A $ 的特征多项式的根全大于零。
}

%\item % 24a.  
\newcommand{\NTXsol}{
{\color{red}解答：根据实对称矩阵正交相似于对角矩阵的结论。

}
}

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%\item % 25
\newcommand{\NTY}{
习题20. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实矩阵，证明：存在正交矩阵 $ T $，使 $ T^{-1}AT $ 为三角形矩阵的充分必要条件是 $ A $ 的特征多项式的根全是实的。
}

%\item % 25a.  
\newcommand{\NTYsol}{
{\color{red}解答：若特征值全是实数。考虑每个特征值的根子空间。

}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 26
\newcommand{\NTZ}{
习题23. 证明：如果 $ \mathcal{A} $ 是 $ n $ 维欧氏空间的一个正交变换，那么 $ \mathcal{A} $ 的不变子空间的正交补也是 $ \mathcal{A} $ 的不变子空间。
}

%\item % 26a.  
\newcommand{\NTZsol}{
{\color{red}解答：正交变换的定义。正交补空间的定义。不变子空间的定义。

}
}




